Je ne vois vraiment pas pourquoi il y aurait un problème au niveau du renommage des chaines. C'est un truc assez commun, et généralement accepté, comme pour NT1 devenue TFX ou Numéro 23 devenue RMC Story en 2018, entre autres. Surtout que c'est sûr qu'ils changeront le nom de ces chaines, TFX et 6ter c'est très rattaché à TF1 et M6.
Pour ce qui est des programmes, si ils veulent changer la thématique, c'est en revanche un processus plus compliqué et moins sûr que les changements voulus soit acceptés. Mais pour TFX (qui deviendrait donc apparemment RMC Crime) de toutes façons, la convention n'indique aucun programme spécifique à diffuser, TFX n'étant pas considérée une "chaine à destination du jeune publique" mais juste une chaine généraliste, donc aucun problème:
Citer: La programmation est généraliste et diversifiée.
Elle s'adresse à l'ensemble du public et réserve une place importante à l'information, à la création
audiovisuelle et cinématographique française, ainsi qu’aux émissions pour la jeunesse et aux
divertissements familiaux.
L’éditeur offre des émissions destinées à la jeunesse aux jours et heures où le public est disponible,
représentant un volume annuel d’au moins 150 heures. En revanche pour 6ter, c'est très légèrement plus spécifique (et elle est considérée comme une chaine à destination des familles comme tu l'as dit): Citer: L’éditeur propose un service à destination de toutes les familles. Il favorise le lien entre les générations
en proposant une programmation qui tient compte du rythme de la vie familiale. Cette offre de
programmes comporte des émissions pouvant être partagées par les enfants, les parents et les grandsparents.
L’offre de programmes est diversifiée. Les magazines et les documentaires, d’une part, la fiction
audiovisuelle, d’autre part, représentent ensemble au moins 60 % du temps total de diffusion. Les parts
respectives de ces deux genres de programmes sont équilibrées. La programmation comprend
également du cinéma et des divertissements.
L’éditeur propose des émissions destinées aux enfants et aux adolescents à des heures adaptées à ce
public.
Au sein de son offre de programmes, il propose notamment des émissions traitant de la santé, de
l’alimentation et de l’éducation. De nombreuses soirées sont consacrées à la découverte et à la
compréhension du monde.
On voit déjà que certaines spécificités ne sont pas respectées de toutes façons, donc bon à la limite...
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Ils devront peut-être modifié la convention, on supprime quelques lignes et puis c'est fait. 
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